定理27　無明起行定理

この解説の読み方

この版は、定理27の学術論文とまったく同じ内容を、数式に慣れていない方と、仏教の教理に触れたことのない方の両方に向けて書き直したものです。式はひとつも省いていません。省いていないかわりに、すべての式について、出てくる文字をひとつ残らず日本語で説明し、その式が何を言っているのかを絵と言葉で言い直しています。

読み方の順番は自由ですが、はじめての方には次をおすすめします。まず第0章（3分でわかる定理27）を読み、次に第1章（仏教の予備知識）と第2章（数学の道具箱）に目を通してください。この二つを通れば、第5章以降の式は「知っている道具の組み合わせ」に見えるようになります。急ぐ方は第0章と第13章（まとめ）だけでも、この定理が何を主張し、何を主張していないかは正確につかめます。

本文中には四色の囲みが出てきます。青い囲みは式に出てくる文字の説明、橙の囲みは式のやさしい言い換え、緑の囲みはなぜそう定義するのかという動機、赤い囲みは間違えやすい読み方への注意です。式が苦手な方は、まず橙の囲みだけを拾って読み進めても、筋はすべて追えるように書いてあります。

第0章　3分でわかる定理27

仏教の十二縁起は「無明に縁りて行が起こり」という一句から始まります。定理27は、この一句だけを数学の言葉に翻訳したものです。翻訳の中身は、次の三つの箱を左から右へたどるだけです。

① 無明とは何か。この体系では、無明は「気分」でも「頭の悪さ」でもありません。いま自分がいる場所が、苦がゼロになる集合の外側だという、位置についての事実です。地図の上で「まだ目的地の中に入っていない」というのと同じ種類の言明です。

② そこから何が言えるか。目的地の外にいる限り、目的地までの距離はゼロではありません。定理26が用意してくれた「高さメーター」は、この距離に連動して必ず正の値をとります。そして同じ定理26が「メーターは自分の高さに比例した速さで必ず下がる」と保証しているので、無明である限り、メーターは止まらずに下がり続けていることになります。

③ それを「行」と呼んでよいか。ここが本定理の肝心なところです。メーターが下がっているだけでは、まだ「本人が何かをした」とは言えません。川の流れに乗っているだけでも舟は進むからです。そこで条件27-Aを置き、「自然に流されている分」と「自分で漕いだ分」を明示的に引き算します。引き算した残りがゼロでないとき、はじめてそれを行（志向的形成作用）と呼びます。

結論を一行で書けば、「寂静に達していないなら、必ず何かを漕いでいる」となります。そして逆も成り立ちます。「部屋の中に入ってしまえば、その漕ぎはゼロになる」。ただし――ここが第10章で詳しく述べる要点ですが――ゼロになるのは部屋の外へ出ようとする向きの成分だけであって、生きること・考えること・他者に応えることが止まるわけではありません。

第1章　仏教の予備知識がなくても読める

1.1　十二縁起とは何か

十二縁起（十二因縁）は、苦しみがどのように生じるかを十二の項目の連鎖として説明する、仏教のもっとも古い教理のひとつです。無明・行・識・名色・六処・触・受・愛・取・有・生・老死――この順に「AがあるからBがある」という条件関係で結ばれています。輪のように描かれるのが通例です。

本定理が扱うのは、この輪のうち最初の一本の矢印だけです。「無明 → 行」、パーリ語で avijjāpaccayā saṅkhārā。それ以外の十一の関係については、本定理は何も述べません。

1.2　パーリ語の一句を三つに分ける

パーリ語の定型句は三つの部分からできています。avijjā（無明）、paccayā（〜を条件として）、saṅkhārā（行）。語順のまま読めば「無明を条件として、行が生じる」となります。

saṅkhārā は複数形です。本稿では、広く用いられているBhikkhu Bodhiの英訳 volitional formations に対応させて「志向的形成作用」と読みます。「意志をもって何かを形づくるはたらき」という程度の意味です。

パーリ語原典資料：Saṃyutta Nikāya 12.2（パーリ本文）、および同経のBhikkhu Bodhi英訳。

1.3　この体系での「涅槃寂静」

もうひとつだけ、先に用語を決めておきます。涅槃寂静とは、この体系では「生きたまま、残りの苦がちょうどゼロである状態の集まり」のことです。ここで「生きたまま」が定義の中に最初から入っているのが要点で、したがって涅槃は死ではありません。またこの集まりは時間とともに動いてよく、その意味で寂静は静止ではなく動的です。詳しくは第3章で扱います。

第2章　数学の道具箱

この章では、定理27を読むのに必要な道具を十五個そろえます。どれも、絵で見れば当たり前のことばかりです。ここを一度通しておけば、以降の式は「知っている道具の組み合わせ」にしか見えなくなります。

道具1　集合と「入っている・入っていない」

集合とは「ものの集まり」です。ある点がその集まりに入っているかいないか、この二択だけを問題にします。入っていることを ∈、入っていないことを ∉ と書きます。定理27では、集合はいつも「苦がゼロの部屋」であり、そこに入っていないことが「無明」です。

道具2　距離 dist ――「いちばん近い壁までの長さ」

点から集合までの距離とは、その集合のいちばん近い点までの長さのことです。dist(x, 部屋) と書きます。部屋の中にいれば距離はゼロ、外にいれば正の数になります。

ここで一点だけ数学的な念押しが要ります。「外にいれば必ず距離が正になる」と言い切るには、部屋が閉じている（＝閉集合である）必要があります。境界がぎりぎり含まれていない集合だと、外の点なのに距離がゼロという困った事態が起こりうるからです。定理26は、この部屋がきちんと閉じていることを保証しています。

道具3　二乗は必ずゼロ以上

どんな実数も二乗すればゼロ以上になります。この当たり前の性質が、以下の議論では「符号がひっくり返らない」ことの保証として繰り返し効いてきます。特に「距離の二乗」という量は、ゼロになるのは距離がゼロのときに限るという便利な性質を持っています。

道具4　Lyapunov関数 ――「高さメーター」

制御理論では、「目的地までどれだけ残っているか」を一本の数で表す仕掛けをよく使います。これをLyapunov関数と呼びます。名前は難しそうですが、要は残量メーターです。満たすべき性質はふたつだけ。

• 目的地に着いたときにゼロ、それ以外では正であること。
• 時間がたつと必ず減ること。

この二つが成り立てば、「メーターが減り続けている以上、いずれ目的地に近づく」と言えます。定理27で使う高さメーターの名前は W_⊤ です。

道具5　挟み込み ――「メーターは距離と連動する」

メーターと距離が無関係だと困ります。そこで、正の定数を二つ用意して、メーターを距離の二乗の上下から挟みます。

道具6　微分 ――「傾き」

微分とは、グラフの傾きのことです。傾きが負なら下り坂、つまりその量は減っています。傾きの大きさは、減り方の速さです。

道具7　右上Dini微分 ――「角があっても測れる傾き」

ふつうの微分には弱点があります。グラフに角があると、そこでは傾きが決まりません。左から近づいたときと右から近づいたときで答えが違うからです。

そこで、右側からの近づき方だけを見て、しかも「いちばん大きい値」を採用する、という測り方を用意します。これが右上Dini微分で、記号は D⁺_t です。角があっても必ず値が決まり、しかも角がないふつうの点では、ふつうの微分とぴったり一致します。つまり「ふつうの微分の拡張版」であって、別物ではありません。

道具8　厳密下降 ――「止まらずに減る」

「減っている」にも強弱があります。だんだん減り方が鈍って、結局は途中で止まってしまう減り方では困ります。そこで、減る速さが、いま残っている量に比例するという強い条件を課します。

道具9　ベクトルと内積 ――「向きの相性」

ベクトルとは「向きと長さを持った矢印」です。二本の矢印の内積とは、その二本がどれくらい同じ方向を向いているかを表す一つの数で、同じ向きなら正、反対向きなら負、直角ならゼロになります。

本稿では内積を、片方を転置して並べる形（たとえば ∇W_⊤^Tv）で書きます。読み方は「∇W_⊤ と v の内積」です。

道具10　勾配 ∇ ――「いちばん急な登り坂の向き」

山の斜面に立って、いちばん急な登り坂の方を指さしてください。その指の向きが勾配です。記号は ∇（ナブラ）を使い、メーターの勾配は ∇W_⊤ と書きます。

勾配と、実際に進む向きとの内積を取ると、その進み方でメーターが上がるか下がるかが分かります。内積が負なら、下り方向の成分を持っているので、メーターは下がります。

道具11　連鎖律 ――「合わせ技の分解」

メーターの値は、時刻そのものによっても変わりますし、状態が動くことによっても変わります。この二つの効果を足し合わせるのが連鎖律です。式で書くと次のようになります。

道具12　Cauchy–Schwarzの不等式 ――「長さの下限を出す」

二本の矢印 a と b の内積は、次のように書けます。

cos θ はどう頑張っても 1 を超えません。したがって内積の大きさは、二本の長さの積を超えられません。これがCauchy–Schwarzの不等式です。

絵で考えると分かりやすくなります。棒に太陽の光を当てたときの影の長さが ‖b‖cos θ です。影は、元の棒より長くなることはありません。太陽が真上から少しでもずれれば、影は必ず短くなります。

道具13　「ほとんどすべての時刻」 ――「点には幅がない」

まず「長さ」の話から始めます。区間 [a, b] の長さは b − a です。では、一点の長さはいくつでしょうか。ゼロです。点には幅がありません。

では、点をたくさん集めたら長さは出るでしょうか。有限個なら、もちろんゼロのままです。驚くべきことに、可算無限個――番号を1, 2, 3, … と振って数え上げられる無限――でも、集めた長さはゼロのままです。たとえば区間 [0, 1] に含まれる分数（有理数）は無限にありますが、全部集めても長さはゼロです。

この「長さ」を、区間だけでなく複雑な集合まで測れるように拡張した測り方の名前が Lebesgue測度です。そして「例外はあるかもしれないが、例外を全部集めても測度がゼロである」という言い方を「ほとんど至る所」「ほとんどすべての時刻で」と言い、a.e. と略します。

道具14　Lipschitz正則性 ――「坂の急さに制限速度がある」

関数のなめらかさには段階があります。定理27が要求するのは、その中間にあたるLipschitz連続という性質です。定義は次の一行です。

道具15　アクチュエータ ――「意思が現実に効く出口」

アクチュエータとは、工学ではモーター・油圧シリンダ・舵のことです。制御信号を物理的な力に変える装置で、センサ（世界から情報へ）のちょうど逆向きにあたります。数式では G(x,t) という行列で表され、入力 u に掛かって Gu という状態への作用を生みます。

舟のたとえでは、u が漕ぐ強さ、G がオールと水の関係、Gu が実際に舟が動いた分です。

押さえるべき性質が三つあります。

① G は正方行列でも可逆でもありません。入力の次元 m と状態の次元 n は一致しません。やりたいことが全部できるわけではないという当然の事実が、行列の形として最初から入っています。

② 核（カーネル）があります。Gv = 0 となる v ≠ 0 が存在しえます。「力んでいるが、世界には何も起きていない」入力方向です。水面と平行に空振りしたオールがこれにあたります。式(27.9)で「η₂₇ 自体はゼロにならなくてよい」と言えるのは、この核成分があるからです。寂静に入っても、意思そのものが消えるわけではありません。

③ G は物理的に固定されていなければなりません。ここが定理27の設計の急所です。同じ ẋ は、f₀ と G の切り分け方を変えれば何通りにも書けてしまいます。もし後から都合よく切り直せるなら、自然ドリフトを「行」と呼び替えることができてしまう。だから G は「実アクチュエータ」――実際に体を動かす経路――でなければならず、条件27-Aは同じ f₀・同じ G のもとで u⁰ と u^tr を比較するのです。

第3章　土台になる二つの定理

定理27は、ゼロから作られたものではありません。すでに証明ずみの二つの定理の上に、一段だけ積み増した結果です。この章では、その二つを式なしで押さえます。

3.1　定理24（一切皆苦）――「空より下では、苦はゼロにならない」

この体系では、認知の抽象度が階層をなしていると考えます。いちばん上の階層を ⊤ と書き、「空」と呼びます。⊤ より下の階層を「空未満」と言い、a ≺ ⊤ と書きます。

定理24は、こう言います。空未満のどの階層にいても、どれだけ上手に最適化しても、残りの苦の合計をゼロにすることはできない。ここでいう苦は「毎瞬ちくちく痛い」という意味ではありません。最適化しきったあとにも、なお正の残りが出てしまうという構造的な非充足性のことです。

3.2　定理26（涅槃寂静）――「生きたまま、苦ゼロの部屋がある」

定理26は、最高抽象度 ⊤ において、次の三つを保証します。

1. 部屋がある。生命活動が維持される集合 ℬ_alive の中に、残りの苦がちょうどゼロになる状態の集まり 𝒩_⊤(t) が存在し、空ではない。
2. 部屋は閉じていて、一度入れば出ない。境界を含む閉集合であり、前向き不変（一度入れば、その後もずっと中にいる）である。
3. 高さメーターがある。道具5の挟み込みと道具8の厳密下降を満たす W_⊤ が存在する。

この部屋は時刻ごとに動いてよいことに注意してください。𝒩_⊤(t) と書いて t が付いているのはそのためです。だから寂静は「凍りついた一点」ではなく、動きうる安全地帯です。

最後に、定理24と定理26を合わせると次が言えます。空未満では永久に苦ゼロを保つことはできない。そして最高抽象度 ⊤ では、永久に苦ゼロを保てることと、部屋の中にいることが同じである。この合成結果を、本稿では (26.3) として引用します。

第4章　登場する記号の全リスト

以降で使う記号を、一つ残らず先に挙げておきます。読んでいて分からない記号が出てきたら、この表に戻ってください。暗記する必要はありません。

第5章　「無明」を数式にする

5.1　型を混同しないための下ごしらえ

まず、議論する状態の範囲をはっきり決めます。空未満の各階層では、その階層の状態空間全体を考えます。最高抽象度 ⊤ では、生きている状態だけを考えます。この二つを混ぜずに並べたものが 𝔛₂₇ です。

5.2　無明の定義

いよいよ本題です。無明を、次のように定義します。

この定義に (26.3) を当てはめると、無明であることの中身が二つの場合に分かれます。

5.3　無明の「量」を測る

(27.1) で定義した無明は、○か×かの真偽値です。しかし「どれくらい無明か」という数が手に入れば、不等式の鎖に載せられるようになり、はるかに強い結論が出せます。そこで、最高抽象度における無明の量を次のように定めます。

第6章　「減っている」を数式にする

次に、無明の量が減る速さに名前を付けます。ここで一つだけ注意が要ります。メーターの値は「いちばん近い壁までの距離」から作られることが多く、そういう量はいたるところ滑らかとは限りません。壁のどこがいちばん近いかが切り替わる瞬間に、グラフに角ができるからです。

そこで道具7の右上Dini微分を使います。これなら角があっても必ず値が決まります。正則性としては、W_⊤ が軌道を含む近傍で連続かつ局所Lipschitzであり、軌道 x(·) が絶対連続であることを仮定します。局所Lipschitz関数はほとんど至る所で微分可能であり、その点ではDini微分と通常の微分が一致します。この正則性のもとで、Dini微分は有限の値をとります。

第7章　「行」を数式にする

この章が定理27の心臓部です。問いはただ一つ、「メーターが下がったのは、誰のおかげか」。

7.1　状態が動く仕組みを二つに分ける

まず、状態が動く仕組みを制御アフィン系という形に書きます。名前は難しそうですが、意味は単純です。「勝手に動く分」と「入力が効く分」を、足し算で分けて書く、というだけです。

なぜ「アフィン」と呼ぶのか

アフィンとは、一次関数に定数を足した形のことです。y = ax は原点を通る直線ですが、y = ax + b は原点を通りません。この「+ b」がある形をアフィンと呼びます。

上の式を u についての関数と見てください。u を2倍すれば Gu も2倍になる――ここは一次（比例）です。しかし u = 0 としても ẋ は 0 になりません。f₀ が残るからです。これが「+ b」にあたり、だから線形ではなくアフィンなのです。

7.2　基準入力を置く

次が肝心なところです。指定入力 u⁰ と同じ入力空間に値を取る、独立に固定された許容な基準フィードバック u^tr(t,x) が存在すると仮定します。これは、生命維持・時間変化・寂静集合内の接線運動といった「素の営み」に対応する入力です。そのうえで、二つの入力の差を志向信号と呼びます。

7.3　条件27-A ――「基準だけでは高さが変わらない」

7.4　行の定義

準備が整いました。条件27-Aのもとで、ほとんどすべての時刻における本モデルの行を、次のように定義します。

第8章　定理27――本体

8.1　四つの式を一行ずつ読む

(27.6)　無明なら、必ず減っている

(27.7)　その減少は、本人の漕ぎである

(27.8)　行の「大きさ」にも下限がある

(27.9)　部屋の中では、その寄与はゼロになる

(27.10)　二つの同値

第9章　証明を一歩ずつ

証明は五段だけです。各段のあとに、その段が何をしたのかを日常語で言い直します。使う道具は第2章でそろえたものだけで、新しい数学は一切出てきません。

9.1　五つの段を日常語で言い直す

第10章　やってはいけない四つの読み方

ここまでの結論は、正しく読めば強い主張ですが、少し踏み外すとまったく別のことを言っているように見えてしまいます。四つの誤読を、順に潰しておきます。

10.1　「無明だから寂静から遠ざかる」――これは違う

指定方策 π⁰_⊤ のもとでは、(26.B) を継承して W_⊤ は減少します。したがって本定理が直接証明するのは、寂静未達時の零残差へ向かうLyapunov下降です。「無明だから必ず寂静から遠ざかる」とは証明しません。

部分情報のもとで方策が誤った最小上界へ向かってしまう可能性は、定理20・21の射程に属し、別の観測・信念モデルを要します。

10.2　「行がゼロ＝すべての活動が停止」――これも違う

定理23により、寂静にあっても生命―環境完全状態は変化しうる。定理26により、評価関数と π⁰_⊤ も作動し続ける。式(27.9)が零とするのは、Lyapunov残差下降率と、無明に条件づけられた正のアクチュエータ寄与だけです。寂静集合内を動く接線成分、生命維持、他者への応答、自由意思容量を消去しません。

10.3　「定理26だけで行まで言える」――言えない

− D⁺_tW_⊤ > 0 は、残差が厳密に減少することを示します。しかし、その減少を直ちに主体の制御入力へ帰属させることはできません。条件27-Aは、同じ自然ドリフト f₀ と同じ実アクチュエータ G のもとで、指定入力 u⁰ と基準入力 u^tr を比較します。これにより、志向信号 η₂₇ についての結論を、実入力の差へ型付けするのです。

10.4　「空未満でも毎瞬の制御入力が非零だと言える」――言えない

(27.2) により、条件24-Aを満たすすべての空未満の状態は型付き操作的無明に属します。ただし、各層で瞬時の非零制御を結論するには、その層のLyapunov関数と条件27-Aに対応する実アクチュエータ帰属が別途必要です。定理24の正の残余価値だけから、毎瞬の制御入力非零は導かれません。

第11章　この定理が土台から借りているもの

定理27は、自前の新しい仮定をほとんど持ちません。使っているのは、すでに証明ずみの定理と、明示された条件だけです。ここで、借りているものを一つ残らず並べます。どこから何を借りているかを一覧にしておけば、この定理がどこまで正しく、どの前提が崩れたときに崩れるのかが、読む人の側で確かめられるようになります。

11.1　使わないもの ― 式(26.C)

条件26-A には、上に挙げた二式のほかにもう一本、式(26.C)（残余価値の距離による連続限界）が含まれています。本定理はこれを一度も使いません。

理由は単純です。定理27が必要とするのは、①「距離が正ならメーターも正」という下からの評価と、②「メーターは必ず減る」という下降の二つだけであり、残余価値そのものの連続性は、証明のどの段にも現れないからです。また、部屋が閉じていることも別途仮定する必要がありません。W_⊤ は連続なので、部屋を「W_⊤ がゼロになる点の集まり」として書けば、閉じていることはそこから自動的に従います。

11.2　借り物リストは、反証のための地図でもある

この表は、定理27を疑う人にとっての地図でもあります。上に挙げた六つをすべて満たしながら、なお結論が破れる系を一つ示せば、それは定理27の反証になります。逆に、六つのどれかが破れている系を持ち出しても、それは反証にはなりません――その系は、はじめから定理の射程の外にあるからです。

第10章で見た自然ドリフト反例（ẋ = −x, U = {0}）は、まさにこの区別の実例でした。あの系は条件27-Aの (27.A2) を零集合の外で満たさないので、定理27の射程の外にあり、したがって「行」は結論されません。仮定が空回りしていないことを、反例そのものが示しているわけです。

第12章　よくある質問

第13章　まとめ

本体系では、涅槃寂静の未達を型付き操作的無明として表すことができます。最高抽象度で零苦不変集合の外にある状態は、条件26-A・26-Bにより正のLyapunov無明残差と厳密に正の残差下降率をもちます。条件27-Aを加えると、その下降へ正に寄与する実アクチュエータ上の志向信号は非零です。したがって、明示したモデル内で「無明に縁りて行が起こる」に対応する条件付き含意が成立します。

同時に、寂静は物理的静止でも全行為の消滅でもありません。消えるのは無明に条件づけられた正の残差寄与であり、生命と自由の接線的・関係的活動は存続しうます。本定理はパーリ語原典句のモデル理論的対応を与えるものであり、パーリ語原典上の無明・行の全語義を証明または尽くすものではありません。これが定理26の動的寂静と両立する定理27の最小形式です。

付録A　式の全一覧

付録B　文字の全一覧

第4章の表を再掲します。読みながら参照できるよう、巻末にも置いておきます。